Nafis Sir Chhaurahi

Some Important Proofs

प्रश्‍न 1: सिद्ध करें कि2\sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:माना कि 2\sqrt{2} एक परिमेय संख्या है।

तब, 2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q} जहाँ, p और q कोई धन पूर्णांक हैं।


जिसका कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।


दोनों तरफ वर्ग करने पर,


(2)2=(pq)2\left( \sqrt{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2


2=p2q2 2 =\frac{p^2}{q^2}

p2 = 2q2 ...............(i)


p = सम संख्या है।


∵ सम संख्या का वर्ग सम ही होता है।


माना कि p = 2m

समीकरण (i) से,


(2m)2=2q2(2m)^2 = 2q^2

4m2 = 2q2
2m2 = q2

q = सम संख्या है।

अब, p और q में उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴2 एक परिमेय संख्या नहीं है।{\therefore \sqrt{2} \text{ एक परिमेय संख्या नहीं है।}}

∴2 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \sqrt{2} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न 2: सिद्ध करें कि3\sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर: माना कि 3\sqrt{3} एक परिमेय संख्या है।


तब, 3=pq\sqrt{3} = \frac{p}{q}, जहाँ p और q कोई धन पूर्णांक हैं।


जिसका कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

दोनों तरफ वर्ग करने पर:

(3)2=(pq)2\left( \sqrt{3} \right)^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2


3=p2q2 3 =\frac{p^2}{q^2}

p2 = 3q2 ...............(i)


p = विषम संख्या है।

∵ विषम संख्या का वर्ग विषम ही होता है।


माना कि p = 3m

समीकरण (i) से,


(3m)2=3q2(3m)^2 = 3q^2

9m2 = 3q2

3m2 = q2

q = विषम संख्या है।

अब, p और q में उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴3 एक परिमेय संख्या नहीं है।{\therefore \sqrt{3} \text{ एक परिमेय संख्या नहीं है।}}

∴3 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \sqrt{3} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न 3: सिद्ध करें कि7\sqrt{7} एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:माना कि 7\sqrt{7} एक परिमेय संख्या है।

तब, 7=pq\sqrt{7} = \frac{p}{q} जहाँ, p और q कोई धन पूर्णांक हैं।

जिसका कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

दोनों तरफ वर्ग करने पर:

(7)2=(pq)2\left( \sqrt{7} \right)^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2

7=p2q2 7 = \frac{p^2}{q^2}

p2 = 7q2 ...............(i)

p = विषम संख्या है।

∵ विषम संख्या का वर्ग विषम ही होता है।

माना कि p = 7m

समीकरण (i) से,

(7m)2=7q2(7m)^2 = 7q^2

49m2 = 7q2

7m2 = q2

q = विषम संख्या है।

अब, p और q में उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴7 एक परिमेय संख्या नहीं है।{\therefore \sqrt{7} \text{ एक परिमेय संख्या नहीं है।}}

∴7 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \sqrt{7} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न 4: सिद्ध करें कि5\sqrt{5} एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:माना कि 5\sqrt{5} एक परिमेय संख्या है।

तब, 5=pq\sqrt{5} = \frac{p}{q}, जहाँ p और q कोई धन पूर्णांक हैं।

जिसका कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

दोनों तरफ वर्ग करने पर:

(5)2=(pq)2\left( \sqrt{5} \right)^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2

5=p2q25 = \frac{p^2}{q^2}

p2 = 5q2 ...............(i)

p = विषम संख्या है।

∵ विषम संख्या का वर्ग विषम ही होता है।

माना कि p = 5m

समीकरण (i) से,

(5m)2=5q2(5m)^2 = 5q^2

25m2 = 5q2

5m2 = q2

q = विषम संख्या है।

अब, p और q में उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴5 एक परिमेय संख्या नहीं है।{\therefore \sqrt{5} \text{ एक परिमेय संख्या नहीं है।}}

∴5 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \sqrt{5} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न 5: सिद्ध करें कि11\sqrt{11} एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:माना कि 11\sqrt{11} एक परिमेय संख्या है।

तब, 11=pq\sqrt{11} = \frac{p}{q} जहाँ, p और q कोई धन पूर्णांक हैं।

जिनका कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

दोनों तरफ वर्ग करने पर:

(11)2=(pq)2\left( \sqrt{11} \right)^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2

11=p2q211 = \frac{p^2}{q^2}

p2=11q2p^2 = 11q^2 ...............(i)

p = विषम संख्या है।

∵ विषम संख्या का वर्ग विषम ही होता है।

माना कि p = 11m

समीकरण (i) से,

(11m)2=11q2(11m)^2 = 11q^2

121m2 = 11q2

11m2 = q2

q = विषम संख्या है।

अब, p और q में उभयनिष्ठ गुणनखंड 11 है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴11 एक परिमेय संख्या नहीं है।{\therefore \sqrt{11} \text{ एक परिमेय संख्या नहीं है।}}

∴11 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \sqrt{11} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न 6: सिद्ध करें कि13\sqrt{13} एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:माना कि 13\sqrt{13} एक परिमेय संख्या है।

तब, 13=pq\sqrt{13} = \frac{p}{q} जहाँ, p और q कोई धन पूर्णांक हैं

जिनका कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

दोनों तरफ वर्ग करने पर:

(13)2=(pq)2\left( \sqrt{13} \right)^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2

13=p2q213 = \frac{p^2}{q^2}

p2=13q2p^2 = 13q^2 ...............(i)

p = विषम संख्या है।

∵ विषम संख्या का वर्ग विषम ही होता है।

माना कि p = 13m

समीकरण (i) से,

(13m)2=13q2(13m)^2 = 13q^2

169m2 = 13q2

13m2 = q2

q = विषम संख्या है।

अब, p और q में उभयनिष्ठ गुणनखंड 13 है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴13 एक परिमेय संख्या नहीं है।{\therefore \sqrt{13} \text{ एक परिमेय संख्या नहीं है।}}

∴13 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \sqrt{13} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न 7: सिद्ध करें कि15\sqrt{15} एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:माना कि 15\sqrt{15} एक परिमेय संख्या है।

तब, 15=pq\sqrt{15} = \frac{p}{q} जहाँ, p और q कोई धन पूर्णांक हैं,

जिनका कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

दोनों तरफ वर्ग करने पर:

(15)2=(pq)2\left( \sqrt{15} \right)^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2

15=p2q215 = \frac{p^2}{q^2}

p2=15q2p^2 = 15q^2 ...............(i)

p = विषम संख्या है।

∵ विषम संख्या का वर्ग विषम ही होता है।

माना कि p = 15m

समीकरण (i) से,

(15m)2=15q2(15m)^2 = 15q^2

225m2 = 15q2

15m2 = q2

q = विषम संख्या है।

अब, p और q में उभयनिष्ठ गुणनखंड 15 है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴15 एक परिमेय संख्या नहीं है।{\therefore \sqrt{15} \text{ एक परिमेय संख्या नहीं है।}}

∴15 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \sqrt{15} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 8. सिद्ध करें कि 12\frac{1}{\sqrt{2}} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 12\frac{1}{\sqrt{2}} एक परिमेय संख्या r है।

अब, 12=r\frac{1}{\sqrt{2}} = r, जहाँ r कोई धन पूर्णांक है।

या, 2=1r\sqrt{2} = \frac{1}{r}

यहाँ, 2\sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, 1r\frac{1}{r} एक परिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴12\therefore \frac{1}{\sqrt{2}} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴12 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 9. सिद्ध करें कि 13\frac{1}{\sqrt{3}} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 13\frac{1}{\sqrt{3}} एक परिमेय संख्या r है।

अब, 13=r\frac{1}{\sqrt{3}} = r, जहाँ r कोई धन पूर्णांक है।

या, 3=1r\sqrt{3} = \frac{1}{r}

यहाँ, 3\sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, 1r\frac{1}{r} एक परिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴13\therefore \frac{1}{\sqrt{3}} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴13 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 10. सिद्ध करें कि 15\frac{1}{\sqrt{5}} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 15\frac{1}{\sqrt{5}} एक परिमेय संख्या r है।

अब, 15=r\frac{1}{\sqrt{5}} = r, जहाँ r कोई धन पूर्णांक है।

या, 5=1r\sqrt{5} = \frac{1}{r}

यहाँ, 5\sqrt{5} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, 1r\frac{1}{r} एक परिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴15\therefore \frac{1}{\sqrt{5}} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴15 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore \frac{1}{\sqrt{5}} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 11. सिद्ध करें कि 232\sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 232\sqrt{3} एक परिमेय संख्या rr है।

अब, 23=r2\sqrt{3} = r, जहाँ rr कोई धन पूर्णांक है।

या, 3=r2\sqrt{3} = \frac{r}{2}

यहाँ, 3\sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, r2\frac{r}{2} एक परिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴23\therefore 2\sqrt{3} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴23 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore 2\sqrt{3} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 12. सिद्ध करें कि 727\sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 727\sqrt{2} एक परिमेय संख्या rr है।

अब, 72=r7\sqrt{2} = r, जहाँ rr कोई धन पूर्णांक है।

या, 2=r7\sqrt{2} = \frac{r}{7}

यहाँ, 2\sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, r7\frac{r}{7} एक परिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴72\therefore 7\sqrt{2} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴72 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore 7\sqrt{2} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 13. सिद्ध करें कि 3−23 - \sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 3−23 - \sqrt{2} एक परिमेय संख्या rr है।

अब, 3−2=r3 - \sqrt{2} = r, जहाँ rr कोई धन पूर्णांक है।

या, −2=r−3-\sqrt{2} = r - 3

या, 2=3−r\sqrt{2} = 3 - r

यहाँ, 2\sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, (3−r)(3 - r) परिमेय संख्याओं का अंतर है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴3−2\therefore 3 - \sqrt{2} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴3−2 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore 3 - \sqrt{2} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 14. सिद्ध करें कि 5−35 - \sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 5−35 - \sqrt{3} एक परिमेय संख्या rr है।

अब, 5−3=r5 - \sqrt{3} = r, जहाँ rr कोई धन पूर्णांक है।

या, −3=r−5-\sqrt{3} = r - 5

या, 3=5−r\sqrt{3} = 5 - r

यहाँ, 3\sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, (5−r)(5 - r) परिमेय संख्याओं का अंतर है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴5−3\therefore 5 - \sqrt{3} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴5−3 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore 5 - \sqrt{3} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

प्रश्‍न: 15. सिद्ध करें कि 3+253 + 2\sqrt{5} एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:माना कि 3+253 + 2\sqrt{5} एक परिमेय संख्या rr है।

अब, 3+25=r3 + 2\sqrt{5} = r, जहाँ rr कोई धन पूर्णांक है।

या, 25=r−32\sqrt{5} = r - 3

या, 5=r−32\sqrt{5} = \frac{r - 3}{2}

यहाँ, 5\sqrt{5} एक अपरिमेय संख्या है।

एवं, r−32\frac{r - 3}{2} परिमेय संख्याओं का अंतर है।

अपरिमेय संख्या = परिमेय संख्या

जो कि संभव नहीं है।

अतः हमारी मान्यता गलत है।

∴3+25\therefore 3 + 2\sqrt{5} एक परिमेय संख्या नहीं है।

∴3+25 एक अपरिमेय संख्या है।{\therefore 3 + 2\sqrt{5} \text{ एक अपरिमेय संख्या है।}}

Proved

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